Гармонический осциллятор в квантовой механике


Введение
  Важность гармонического осциллятора в физике
  Общие свойства квантового гамильтониана
Собственные значения гамильтониана
  Обозначения
    Операторы и
    Операторы a, a+ и N
  Определение спектра
    Леммы
    Спектр оператора N состоит из неотрицательных чисел
    Интерпретация операторов a, a+
  Вырождение собственных значений
    Основной уровень не вырожден
    Все уровни не вырождены
Собственные состояния гамильтониана
  Представление
    Выражение базисных векторов
    Соотношения ортонормировки и замкнутости
    Действие различных операторов
  Волновые функции стационарных состояний
Физическое обсуждение
  Средние значения и среднеквадратичные отклонения операторов X и P в состоянии
  Свойства основного состояния
  Эволюция средних значений во времени

Эволюция средних значений во времени

   Рассмотрим гармонический осциллятор, состояние которого в момент времени t = 0 записывается в виде:

   (94)

(предполагается, что функция нормирована). Его состояние в момент времени t:

.   (95)

   Среднее значение любой физической величины А определяется функцией времени:

,   (96)

где

,   (97)

а m и n – целые числа. Таким образом, эволюция во времени средних значений происходит с частотой и кратными ей, причем все они образуют набор частот Бора гармонического осциллятора.

   Обратим внимание на средние значения наблюдаемых Х и Р. Согласно формулам (75), (76) единственными отличными от нуля матричными элементами Хmn и Рmn являются такие, для которых , вследствие чего средние значения операторов Х и Р изменяются пропорционально и, следовательно, являются гармоническими функциями времени с частотой w. Это напоминает классическое решение задачи о гармоническом осцилляторе. Форма потенциала гармонического осциллятора говорит о том, что средние значения Х и Р должны строго соответствовать классическим уравнениям движения в любом состоянии .

   Имеем:

;   (98)

.   (99)

   Если эти уравнения проинтегрировать, получим:

;      

   (100)

и снова находим синусоидальную функцию вида (96).

   Важно заметить, что аналогия с классической ситуацией имеет место только тогда, когда является суперпозицией состояний вида (94), где по крайней мере несколько коэффициентов сn(0) отличны от нуля. Если все коэффициенты, кроме одного, равны нулю, это значит, что осциллятор находится в стационарном состоянии, и все средние значения всех наблюдаемых остаются постоянными во времени.

   Отсюда следует, что в стационарном состоянии поведение гармонического осциллятора существенно отличается от того, что предсказывает классическая механика, если даже n очень велико (предел больших квантовых чисел). Если требуется построить волновой пакет, среднее положение которого осциллирует во времени, необходимо воспользоваться суперпозицией различных состояний .