Гармонический осциллятор в квантовой механике


Введение
  Важность гармонического осциллятора в физике
  Общие свойства квантового гамильтониана
Собственные значения гамильтониана
  Обозначения
    Операторы и
    Операторы a, a+ и N
  Определение спектра
    Леммы
    Спектр оператора N состоит из неотрицательных чисел
    Интерпретация операторов a, a+
  Вырождение собственных значений
    Основной уровень не вырожден
    Все уровни не вырождены
Собственные состояния гамильтониана
  Представление
    Выражение базисных векторов
    Соотношения ортонормировки и замкнутости
    Действие различных операторов
  Волновые функции стационарных состояний
Физическое обсуждение
  Средние значения и среднеквадратичные отклонения операторов X и P в состоянии
  Свойства основного состояния
  Эволюция средних значений во времени

Физическое обсуждение

   Средние значения и среднеквадратичные отклонения операторов Х и Р в состоянии {}

   Ни Х, ни Р не коммутируют с Н, и собственные состояния оператора Н не являются собственными состояниями операторов Х и Р. В связи с этим, если гармонический осциллятор находится в стационарном состоянии , то измерение наблюдаемой Х или наблюдаемой Р априори может дать любой результат, так как спектры операторов Х и Р содержат все вещественные числа. Здесь мы вычислим средние значения Х и Р в таком стационарном состоянии, а затем их среднеквадратичные отклонения и , что позволит еще раз проверить соотношение неопределенностей.

   Вычисления удобно проводить с помощью операторов а и а+. Что касается средних значений Х и Р, результат сразу же вытекает из формул (75) и (76), которые показывают, что ни Х ни Р не имеют диагональных матричных элементов:

;      

.   (82)

   Чтобы получить среднеквадратичные отклонения и , нужно вычислить средние значения Х2 и P2:

;      

.   (83)

Но согласно формулам (10), (17), (18):

;      

.   (84)

   Члены и не дают вкладов в диагональные матричные элементы, так как пропорционален и пропорционален , т.е. векторам, которые ортогональны к вектору . Напротив:

.   (85)

и, следовательно:

;   (86)

.   (87)

Произведение оказывается равным:

.   (88)

   И снова мы видим, что оно больше или равно . Действительно, эта нижняя граница достигается, если n = 0, т.е. в основном состоянии.