Гармонический осциллятор в квантовой механике


Введение
  Важность гармонического осциллятора в физике
  Общие свойства квантового гамильтониана
Собственные значения гамильтониана
  Обозначения
    Операторы и
    Операторы a, a+ и N
  Определение спектра
    Леммы
    Спектр оператора N состоит из неотрицательных чисел
    Интерпретация операторов a, a+
  Вырождение собственных значений
    Основной уровень не вырожден
    Все уровни не вырождены
Собственные состояния гамильтониана
  Представление
    Выражение базисных векторов
    Соотношения ортонормировки и замкнутости
    Действие различных операторов
  Волновые функции стационарных состояний
Физическое обсуждение
  Средние значения и среднеквадратичные отклонения операторов X и P в состоянии
  Свойства основного состояния
  Эволюция средних значений во времени

   Операторы a, a+ и N

   Если бы и были числами, а не операторами, то сумму квадратов , входящую в выражение (13) оператора , можно было бы представить в виде произведения двух линейных комбинаций: . На самом деле, поскольку и - операторы, не коммутирующие друг с другом, . Однако введение операторов, пропорциональных и , позволяет значительно упростить поиск собственных значений и собственных векторов оператора . Итак, положим:

   (15)

   (16)

   Получим:

   (17)

   (18)

   Хотя операторы и - эрмитовы, операторы a+ и a таковыми не являются из-за множителя i, но они сопряжены друг с другом.

   Коммутатор операторов a+ и a вычисляется с помощью формул (15), (16) и (11):

   (19)

т. е.

[a, a+]= 1.   (20)

Это равенство полностью эквивалентно каноническому соотношению коммутации (5).

   Несколько простых формул, полезных для дальнейших расчетов:

   (21)

Сравнивая этот результат с выражением (13), заметим, что:

   (22)

Таким образом, в отличие от классического случая, оператор нельзя представить в форме произведения двух линейных комбинаций. Некоммутативность операторов и является причиной появления дополнительного члена 1/2 в правой части (22). Аналогично можно получить:

   (23)

   Введем теперь оператор N, определенный формулой:

N = a+a.   (24)

Этот оператор Эрмитов, так как:

N+ = a+(a+)+ = a+a = N.   (25)

Кроме того, согласно формуле (22) имеем:

   (26)

так что собственные векторы оператора являются собственными векторами оператора N и наоборот.

   Вычислим коммутаторы оператора N с a и a+:

[N, a] = [a+a, a] = a+[a, a] + [a+, a]a = -a;   

[N, a+] = [a+a, a]= a+ [a, a+] + [a+, a+]a = a+.   (27)

   Дальнейший анализ гармонического осциллятора основан на использовании операторов a, a+ и N. Теперь нужно заменить уравнение на собственные значения оператора Н, записанное ранее в форме (14), на уравнение для оператора N:

   (28)

   Решая это уравнение узнаем, что собственный вектор оператора N является также собственным вектором оператора H с собственным значением [формулы (12) и (26)]:

   (29)

   Решение уравнения (28) будет основано на коммутационном соотношении (20), эквивалентном исходному соотношению (5), и на вытекающих из него формулах (27).