Гармонический осциллятор в квантовой механике


Введение
  Важность гармонического осциллятора в физике
  Общие свойства квантового гамильтониана
Собственные значения гамильтониана
  Обозначения
    Операторы и
    Операторы a, a+ и N
  Определение спектра
    Леммы
    Спектр оператора N состоит из неотрицательных чисел
    Интерпретация операторов a, a+
  Вырождение собственных значений
    Основной уровень не вырожден
    Все уровни не вырождены
Собственные состояния гамильтониана
  Представление
    Выражение базисных векторов
    Соотношения ортонормировки и замкнутости
    Действие различных операторов
  Волновые функции стационарных состояний
Физическое обсуждение
  Средние значения и среднеквадратичные отклонения операторов X и P в состоянии
  Свойства основного состояния
  Эволюция средних значений во времени

   2. Соотношения ортонормировки и замкнутости

   Поскольку оператор Н эрмитов, кет-векторы , соответствующие различным значениям n, ортогональны, Так как, кроме того, каждый из них нормирован, то они удовлетворяют соотношению ортонормировки:

.   (68)

   С другой стороны, Н – наблюдаемая, и поэтому ансамбль образует базис в пространстве , что выражается с помощью соотношения замкнутости:

.   (69)


   3. Действие различных операторов

   Наблюдаемые Х и Р являются линейными комбинациями операторов a и a+ (формулы (10), (17), (18)), и поэтому все физические величины могут быть выражены в виде функций операторов a и a+. Действие операторов a и a+ на векторы является особенно простым. Таким образом, представляет интерес использовать представление {} для вычисления матричных элементов и средних значений различных наблюдаемых.

   С учетом введенных выше соглашений относительно фазы действие операторов a и a+ на базисные векторы {} описывается выражениями:

;   (70)

.   (71)

Мы уже доказали равенство (70): достаточно заменить n на n + 1 в уравнениях (63) и (65). Чтобы получить (71), умножим слева обе части равенства (63) на оператор а и используем формулу (65):

.   (72)

   Уравнения, сопряженные (70) и (71), имеют вид:

;   (73)

.   (74)

   Нужно только помнить, что оператор а уменьшает или увеличивает в зависимости от того, действует ли он на кет или на бра . Аналогично, оператор увеличивает или уменьшает в зависимости от того, действует ли он на кет или на бра .

   С помощью формул (70) и (71) и используя (10), (17), (18), сразу же найдем выраже-ния для кет-векторов и :

;   (75)

.   (76)