Гармонический осциллятор в квантовой механике


Введение
  Важность гармонического осциллятора в физике
  Общие свойства квантового гамильтониана
Собственные значения гамильтониана
  Обозначения
    Операторы и
    Операторы a, a+ и N
  Определение спектра
    Леммы
    Спектр оператора N состоит из неотрицательных чисел
    Интерпретация операторов a, a+
  Вырождение собственных значений
    Основной уровень не вырожден
    Все уровни не вырождены
Собственные состояния гамильтониана
  Представление
    Выражение базисных векторов
    Соотношения ортонормировки и замкнутости
    Действие различных операторов
  Волновые функции стационарных состояний
Физическое обсуждение
  Средние значения и среднеквадратичные отклонения операторов X и P в состоянии
  Свойства основного состояния
  Эволюция средних значений во времени

Общие свойства квантового гамильтониана


   Гамильтониан системы:

   (4)

где X и P удовлетворяют соотношению:

   (5)

   Поскольку H не зависит от времени (консервативная система), то квантовый анализ гармонического осциллятора сводится к решению уравнения на собственные значения:

   (6)

которое в представлении имеет вид:

   (7)

   Прежде, чем перейти к решению уравнения (6), отметим некоторые важные свойства, вытекающие из формы (1) потенциала.

   1. Собственные значения гамильтониана являются положительными числами. Действительно, в общем случае можно показать, что если потенциальная энергия V(x) ограничена снизу, то собственные значения E гамильтониана превышают минимальное значение функции V(x):

E > Vm,    если   V(x) >= Vm.   (8)

В случае интересующего нас гармонического осциллятора начало отсчета энергии выбрано так, что Vm = 0.

   2. Собственные функции оператора H имеют определенную четность. Это свойство следует из четности функции V(x):

V(-x) = V(x)   (9)

   В этом случае собственные функции оператора H в представлении можно искать среди функций с определенной четностью (действительно, собственные значения Н не вырождены, и, следовательно, волновые функции, описывающие стационарные состояния, должны быль либо четными, либо нечетными).

   3. Спектр энергий является дискретным. Классическое движение частицы имеет место в ограниченной области оси Ох независимо от значения полной энергии (см. рис. 1), и в этом случае собственные значения гамильтониана образуют дискретный ансамбль.

Рис. 1. Потенциальная энергия V(x) одномерного гармонического осциллятора. Амплитуда классического движения с энергией Е равна xм.