Гармонический осциллятор в квантовой механике


Введение
  Важность гармонического осциллятора в физике
  Общие свойства квантового гамильтониана
Собственные значения гамильтониана
  Обозначения
    Операторы и
    Операторы a, a+ и N
  Определение спектра
    Леммы
    Спектр оператора N состоит из неотрицательных чисел
    Интерпретация операторов a, a+
  Вырождение собственных значений
    Основной уровень не вырожден
    Все уровни не вырождены
Собственные состояния гамильтониана
  Представление
    Выражение базисных векторов
    Соотношения ортонормировки и замкнутости
    Действие различных операторов
  Волновые функции стационарных состояний
Физическое обсуждение
  Средние значения и среднеквадратичные отклонения операторов X и P в состоянии
  Свойства основного состояния
  Эволюция средних значений во времени

Определение спектра

   1. Леммы

Лемма 1 (свойство собственных значений оператора N)

   Собственные значения v оператора N либо положительны, либо равны нулю.

   Действительно, рассмотрим произвольный собственный вектор и запишем, что квадрат нормы вектора положителен или равен нулю:

   (30)

   Используем теперь определение (24) оператора N:

   (31)

   Поскольку положительная величина, то сравнение формул (30) и (31) показывает, что

   (32)

Лемма 2 (свойство вектора )

   Пусть - отличный от нуля собственный вектор оператора N с собственным значением v.

   1) Если v = 0, то кет = 0.

   Согласно формуле (31) квадрат нормы вектора равен нулю, если v = 0, но норма вектора равна нулю тогда и только тогда, если сам вектор равен нулю. Поэтому, если v = 0 - собственное значение оператора N, то все собственные векторы , связанные с этим собственным значением, удовлетворяют равенству:

   (33)

   Впрочем, можно показать, что равенство (33) справедливо для всех этих собственных векторов. Действительно, рассмотрим вектор , удовлетворяющий равенству:

   (34)

Умножим обе части этого равенства слева на a+:

   (35)

   Любой вектор, удовлетворяющий неравенству (34), является собственным вектором оператора N с собственным значением v.

   2) Если v > 0, то кет является отличным от нуля собственным вектором оператора N с собственным значением v - 1.

   Допустим, что значение v строго положительно. Согласно формуле (31) вектор не равен нулю, так как квадрат его нормы отличен от нуля.

   Покажем, что кет является собственным вектором оператора N. Для этого применим операторное равенство (27) к вектору :

   (36)

   Таким образом:

   (37)

откуда следует, что кет является собственным вектором оператора N с собственным значением v - 1.

Лемма 3 (свойства вектора )

   Пусть – собственный отличный от нуля вектор оператора N с собственным значением v.

   1) Вектор всегда отличен от нуля.

   Используя формулы (20) и (24), вычислим норму вектора :

   (38)

   Поскольку согласно Лемме 1 величина v является положительной или нулем, то кет всегда имеет норму, отличную от нуля и никогда не может равняться нулю.

   2) Кет является собственным вектором оператора N собственным значением v + 1.

   Доказательство того, что является собственным вектором оператора N, аналогично приведенному в Лемме 1. Достаточно взять в качестве исходного равенство (27) между операторами, откуда последует:

   (39)