Гармонический осциллятор в квантовой механике


Введение
  Важность гармонического осциллятора в физике
  Общие свойства квантового гамильтониана
Собственные значения гамильтониана
  Обозначения
    Операторы и
    Операторы a, a+ и N
  Определение спектра
    Леммы
    Спектр оператора N состоит из неотрицательных чисел
    Интерпретация операторов a, a+
  Вырождение собственных значений
    Основной уровень не вырожден
    Все уровни не вырождены
Собственные состояния гамильтониана
  Представление
    Выражение базисных векторов
    Соотношения ортонормировки и замкнутости
    Действие различных операторов
  Волновые функции стационарных состояний
Физическое обсуждение
  Средние значения и среднеквадратичные отклонения операторов X и P в состоянии
  Свойства основного состояния
  Эволюция средних значений во времени

   2. Спектр оператора N состоит из неотрицательных целых чисел

   Рассмотрим произвольное собственное значение v оператора N и собственный отличный от нуля вектор , связанный с этим значением.

   Согласно Лемме 1 значение v по необходимости или положительно или равно нулю. Допустим сначала, что v – не целое число. Покажем, что это предположение противоречит Лемме 1 и должно быть исключено. Действительно, если v – не целое, то всегда можно найти такое целое число , что

n < v < n + 1.   (40)

   Затем рассмотрим последовательность векторов:

, , ..., .   (41)

   Согласно Лемме 2 каждый из векторов (где ) этой последовательности отличен от нуля и является собственным вектором оператора N с собственным значением v - p (см. рис. 2). Доказательство далее осуществляется по шагам: отличен от нуля по предположению; отличен от нуля, так как v > 0 и соответствует собственному значению v - 1 оператора N; вектор получается в результате действия оператора а на , собственный вектор оператора N с положительным собственным значением v - p + 1, так как и v > n (см. формулу (40)).

   Подействуем теперь оператором а на кет . Поскольку из формулы (40) следует, что v - n > 0, то действие а на (собственный вектор оператора N с собственным значением v - n > 0) дает отличный от нуля (Лемма 2) вектор. Кроме того вследствие Леммы 2 вектор также является собственным вектором оператора N с собственным значением v - n - 1 , т.е. числом, строго отрицательным согласно формуле (40). Таким образом, если v - не целое число, мы можем сконструировать отличный от нуля собственный вектор оператора N со строго отрицательным собственным значением. Поскольку это не-возможно (Лемма 1), то гипотеза о том, что v - не целое число, должна быть отброшена.

Рис. 2
Собственные векторы оператора N с собственными значениями v - 1, v - 2, ... образуются в результате многократного действия оператора а на кет

   Что же произойдет, если

v = n.   (42)

где n – целое положительное число или 0? В последовательности векторов (41) вектор отличен от нуля и является собственным вектором оператора N с собственным значением 0. Тогда согласно Лемме 2 (1) имеем:

= 0.   (43)

Таким образом, последовательность векторов, полученная в результате многократного действия оператора a на вектор , оказывается ограниченной, если n – целое число, и получить отличный от нуля собственный вектор оператора N с отрицательным собственным значением невозможно.

   Итак, собственное значение v может быть только целым неотрицательным числом.

   Теперь можно воспользоваться Леммой 3 и показать, что спектр оператора N состоит только из положительных целых чисел и нулей. Действительно, выше был построен собственный вектор оператора N с нулевым собственным значением; достаточно подействовать на него оператором , чтобы получить собственный вектор оператора N с собственным значением k, где k – произвольное положительное целое число.

   Если обратиться к формуле (29), то можно заключить, что собственные значения операторa H имеют вид:

,   (44)

где n = 1, 2, ... . Итак, в квантовой механике энергия гармонического осциллятора квантуется и не может принимать произвольные значения. Самое малое возможное значение энергии (основной уровень) равно не нулю, а величине /2.