Гармонический осциллятор в квантовой механике


Введение
  Важность гармонического осциллятора в физике
  Общие свойства квантового гамильтониана
Собственные значения гамильтониана
  Обозначения
    Операторы и
    Операторы a, a+ и N
  Определение спектра
    Леммы
    Спектр оператора N состоит из неотрицательных чисел
    Интерпретация операторов a, a+
  Вырождение собственных значений
    Основной уровень не вырожден
    Все уровни не вырождены
Собственные состояния гамильтониана
  Представление
    Выражение базисных векторов
    Соотношения ортонормировки и замкнутости
    Действие различных операторов
  Волновые функции стационарных состояний
Физическое обсуждение
  Средние значения и среднеквадратичные отклонения операторов X и P в состоянии
  Свойства основного состояния
  Эволюция средних значений во времени

Свойства основного состояния

   В классической механике наименьшая энергия гармонического осциллятора имеет место тогда, когда частица неподвижна (импульс и кинетическая энергия равны нулю) и находится в начале координат (точка х = 0, где потенциальная энергия равна нулю). В квантовой механике все обстоит иначе: состояние с минимальной энергией имеет отличную от нуля энергию, и связанная с ним волновая функция имеет некоторую пространственную протяженность, характеризующуюся среднеквадратичным отклонением

   Это наиболее существенное различие квантового и классического результатов можно рассматривать как следствие соотношения неопределенностей, запрещающего одновременно минимизировать кинетическую и потенциальную энергию. Основное состояние является компромиссом, в котором с умма этих энергий имеет минимально возможное значение.

   В частном случае гармонического осциллятора эти качественные рассуждения можно уточнить полуколичественно и определить порядок величины энергии и пространственной протяженности основного состояния. Если длина характеризует пространственную протяженность, то средняя потенциальная энергия по порядку величины равна:

.   (89)

Но тогда равна примерно , и средняя кинетическая энергия приближенно равна:

.   (90)

Таким образом, полная энергия по порядку величины равна:

.   (91)

Для малых значений кинетическая энергия превышает потенциальную , тогда как при больших значениях имеет место обратное соотношение между ними. Таким образом, основное состояние соответствует приближенно минимуму функции (91), и значение переменной , соответствующее минимуму, равно:

,   (92)

а энергия равна:

.   (93)

Тем самым мы снова находим по порядку величины уже известные значения Е0 и в состоянии .

   Гармонический осциллятор обладает той особенностью, что из-за формы потенциала V(x) произведение действительно достигает в основном состоянии своего нижнего порога (формула (88)), и это связано с гауссовой формой волновой функции основного состояния.