Гармонический осциллятор в квантовой механике


Введение
  Важность гармонического осциллятора в физике
  Общие свойства квантового гамильтониана
Собственные значения гамильтониана
  Обозначения
    Операторы и
    Операторы a, a+ и N
  Определение спектра
    Леммы
    Спектр оператора N состоит из неотрицательных чисел
    Интерпретация операторов a, a+
  Вырождение собственных значений
    Основной уровень не вырожден
    Все уровни не вырождены
Собственные состояния гамильтониана
  Представление
    Выражение базисных векторов
    Соотношения ортонормировки и замкнутости
    Действие различных операторов
  Волновые функции стационарных состояний
Физическое обсуждение
  Средние значения и среднеквадратичные отклонения операторов X и P в состоянии
  Свойства основного состояния
  Эволюция средних значений во времени

Собственные значения гамильтониана


   Вернемся к уравнению на собственные значения (6) и, используя только каноническое соотношение коммутации (5), найдем спектр гамильтониана Н, имеющего вид, при-веденный в формуле (4).


Обозначения


   Введем несколько обозначений, которые окажутся очень удобными в дальнейшем.

   Операторы и

   Наблюдаемые Х и Р имеют размерность координаты и импульса соответственно. Зная, что размерность величины w - обратное время, а размерность ћ – действие (произведение энергии на время), нетрудно заметить, что наблюдаемые и , определенные формулами:

   (10)

являются безразмерными.

   Используя эти новые операторы, можно переписать каноническое соотношение коммутации в форме:

   (11)

и представить гамильтониан в виде:

   (12)

где

   (13)

   Теперь можно искать решения уравнения на собственные значения:

   (14)

где оператор и собственные значения являются безразмерными величинами. Индекс v априори может принадлежать непрерывному или дискретному ансамблю, а дополнительный индекс I позволит различать возможные различные собственные ортогональные векторы, соответствующие одному собственному значению .