Гармонический осциллятор в квантовой механике


Введение
  Важность гармонического осциллятора в физике
  Общие свойства квантового гамильтониана
Собственные значения гамильтониана
  Обозначения
    Операторы и
    Операторы a, a+ и N
  Определение спектра
    Леммы
    Спектр оператора N состоит из неотрицательных чисел
    Интерпретация операторов a, a+
  Вырождение собственных значений
    Основной уровень не вырожден
    Все уровни не вырождены
Собственные состояния гамильтониана
  Представление
    Выражение базисных векторов
    Соотношения ортонормировки и замкнутости
    Действие различных операторов
  Волновые функции стационарных состояний
Физическое обсуждение
  Средние значения и среднеквадратичные отклонения операторов X и P в состоянии
  Свойства основного состояния
  Эволюция средних значений во времени

Вырождение собственных значений


   Уровни энергии одномерного гармонического осциллятора, определенные формулой (44), не вырождены.

   1. Основной уровень не вырожден

   Собственные состояния оператора H с собственным значением /2, т.е. связанные с собственным значением n = 0 оператора N, согласно Лемме 2 должны удовлетворять уравнению:

= 0.   (45)

   Чтобы определить кратность вырождения уровня E 0, достаточно определить, сколько линейно независимых кет-векторов могут удовлетворять уравнению (45).

   Используя определение (15) оператора а и соотношения (10), можно переписать (45) в форме:

.   (46)

В представлении это равенство имеет вид:

.   (47)

где

.   (48)

   Таким образом, нужно решить дифференциальное уравнение первого порядка, и его общее решение равно:

   (49)

где с – постоянная интегрирования. Таким образом, все различные решения уравнения (47) пропорциональны друг другу, и с точностью до постоянного множителя имеется всего лишь один кет-вектор , удовлетворяющий уравнению (45), т.е. основной уровень /2 является невырожденным.