Гармонический осциллятор в квантовой механике


Введение
  Важность гармонического осциллятора в физике
  Общие свойства квантового гамильтониана
Собственные значения гамильтониана
  Обозначения
    Операторы и
    Операторы a, a+ и N
  Определение спектра
    Леммы
    Спектр оператора N состоит из неотрицательных чисел
    Интерпретация операторов a, a+
  Вырождение собственных значений
    Основной уровень не вырожден
    Все уровни не вырождены
Собственные состояния гамильтониана
  Представление
    Выражение базисных векторов
    Соотношения ортонормировки и замкнутости
    Действие различных операторов
  Волновые функции стационарных состояний
Физическое обсуждение
  Средние значения и среднеквадратичные отклонения операторов X и P в состоянии
  Свойства основного состояния
  Эволюция средних значений во времени

Волновые функции стационарных состояний

   Перейдем в представление {} и запишем функции , представляющие собственные состояния гамильтониана.

   Мы уже определили функцию , представляющую основное состояние :

.   (77)

Фигурирующая перед экспонентой константа обеспечивает нормировку функции .

   Чтобы получить функции , связанные с другими стационарными состояниями гармонического осциллятора, достаточно использовать выражение (67) для кет-вектора и тот факт, что в представлении {} оператор a+ представлен выражением , поскольку Х представлен умножением на х, а Р - дифференцированием (формула (16)). Тогда:

   (78)

или

.   (79)

Нетрудно видеть из этого выражения, что является произведением экспоненты на полином степени n и четности (-1)n, который называется полиномом Эрмита.

   Несложные вычисления дают первые функции :

;      

.   (80)

   Эти функции представлены на рис. 3, а соответствующие им плотности вероятности приведены на рис. 4.

Рис. 3.

Волновые функции трех первых уровней гармонического осциллятора

Рис. 4.

Плотность вероятности трех первых уровней гармонического осциллятора

   Амплитуда колебаний частицы увеличивается с ростом ее энергии. Среднее значение потенциальной энергии также увеличивается с ростом n, так как при больших значениях n функция заметно отлична от нуля в тех областях оси Ох, где потенциал V(x) увеличивается. Кроме того, число нулей функции равно n, и средняя кинетическая энергия частицы увеличивается с ростом n. Действительно, она определяется формулой:

.   (81)

С увеличением количества нулей функции кривизна волновой функции возрастает, и в формуле (81) вторая производная принимает все большие и большие значения.

   Наконец, при больших n плотность вероятности принимает наибольшие значения при . Этот результат напоминает характеристику движения, которую предсказывает классическая механика: классическая частица имеет нулевую скорость в точках ; т.е. она в среднем проводит больше времени вблизи этих точек, чем в центре интервала .



примеры решения задач