Гармонический осциллятор в квантовой механике


Введение
  Важность гармонического осциллятора в физике
  Общие свойства квантового гамильтониана
Собственные значения гамильтониана
  Обозначения
    Операторы и
    Операторы a, a+ и N
  Определение спектра
    Леммы
    Спектр оператора N состоит из неотрицательных чисел
    Интерпретация операторов a, a+
  Вырождение собственных значений
    Основной уровень не вырожден
    Все уровни не вырождены
Собственные состояния гамильтониана
  Представление
    Выражение базисных векторов
    Соотношения ортонормировки и замкнутости
    Действие различных операторов
  Волновые функции стационарных состояний
Физическое обсуждение
  Средние значения и среднеквадратичные отклонения операторов X и P в состоянии
  Свойства основного состояния
  Эволюция средних значений во времени

   2. Все уровни не вырождены

   Если уровень не вырожден, то и уровень оказывается невырожденным. Допустим, что существует единственный (с точностью до постоянного множителя) вектор , удовлетворяющий равенству:

.   (50)

   Рассмотрим собственный вектор , соответствующий собственному значению n + 1:

.   (51)

   Известно, что кет отличен от нуля и является собственным вектором оператора N с собственным значением n (Лемма 2). Поскольку в соответствии с нашим предположением он не вырожден, то существует такое число ci, что

.   (52)

   Это уравнение легко обратить, подействовав оператором a+ на обе его части:

.   (53)

т.е. если учесть (24) и (51):

.   (54)

   Мы знаем уже, что является собственным вектором оператора N с собственным значением n + 1, и видим, что все кет-векторы , связанные с собственным значением n + 1, пропорциональны вектору , и следовательно, пропорциональны друг другу, что и свидетельствует о том, что собственное значение n + 1 не вырождено.

   Поскольку собственное значение n = 0 не вырождено, то не вырождено собственное значение n = 1, затем n = 2 и т.д.: т.е. все собственные значения оператора N, а следовательно, и оператора Н являются невырожденными. Это позволяет в дальнейшем опустить индекс i и просто записывать собственный вектор оператора Н с собственным значением в виде .