Гармонический осциллятор в квантовой механике


Введение
  Важность гармонического осциллятора в физике
  Общие свойства квантового гамильтониана
Собственные значения гамильтониана
  Обозначения
    Операторы и
    Операторы a, a+ и N
  Определение спектра
    Леммы
    Спектр оператора N состоит из неотрицательных чисел
    Интерпретация операторов a, a+
  Вырождение собственных значений
    Основной уровень не вырожден
    Все уровни не вырождены
Собственные состояния гамильтониана
  Представление
    Выражение базисных векторов
    Соотношения ортонормировки и замкнутости
    Действие различных операторов
  Волновые функции стационарных состояний
Физическое обсуждение
  Средние значения и среднеквадратичные отклонения операторов X и P в состоянии
  Свойства основного состояния
  Эволюция средних значений во времени

Важность гармонического осциллятора в физике


   Осциллятор - система (или материальная точка) совершающая колебательное периодическое движение около положения устойчивого равновесия.

   Гармонический осциллятор - осциллятор, колебания которого являются основной моделью движения частиц в атомах, атомных ядрах, молекулах, твердых телах.

   Самым простым примером такой системы является частица с массой m, движущаяся в поле потенциала, зависящего только от координаты x:

   (1)

где k - положительная вещественная постоянная. Частица притягивается к плоскости x = 0 (минимум функции V(x), соответствующий устойчивому равновесию) возвращающей силой:

   (2)

пропорциональной расстоянию x, отделяющему ее от плоскости x = 0. Из классической механики известно, что проекция движения частицы на ось Ox представляет собой синусоидальное колебание около положения равновесия x = 0 с циклической частотой:

   (3)

   В реальности огромное количество систем ведут себя (по крайней мере приближенно) как гармонические осцилляторы. Практически каждый раз, когда исследуется поведе-ние физической системы вблизи положения устойчивого равновесия, уравнения движения в пределе малых колебаний сводятся к уравнениям гармонического осциллятора.

   Гармонический осциллятор необходим также и при изучении электромагнитного поля. Известно, что в резонаторе существует бесконечное количество возможных стоячих волн (собственные моды резонатора). Электромагнитное поле можно разложить по этим модам, и с помощью уравнений Максвелла можно доказать, что коэффициенты такого разложения, описывающего состояние поля в каждый данный момент времени, подчиняются дифференциальным уравнениям, полностью совпадающим с уравнением гармонического осциллятора, частота w которого равна собственной частоте соответствующей моды. Другими словами, формально электромагнитное поле эквивалентно ансамблю независимых гармонических осцилляторов. Квантование поля получается путем простого квантования этих осцилляторов, связанных с различными собственными модами резонатора. Именно анализ поведения этих осцилляторов при тепловом равновесии (излучение абсолютно черного тела) исторически побудил Планка впервые в физике веси постоянную h, которая с тех пор носит его имя.

   Гармонический осциллятор играет также важную роль в описании ансамбля одинаковых частиц, находящихся в одном и том же квантовом состоянии (бозоны). Это связано с тем, что энергетические уровни гармонического осциллятора эквидистантны, и разделяющий два соседних уровня интервал энергии равен ћw. При этом любому уровню энергии, определенному целым числом n (т.е. отстоящему на расстоянии nћw от основного уровня), можно сопоставить ансамбль, состоящий из n одинаковых частиц (или квантов), каждая из которых имеет энергию ћw. Переход осциллятора с уровня n на уровень n+1 или n-1 соответствует рождению или уничтожению кванта энергии ћw. Далее мы введем операторы a+ и a, позволяющие описать этот переход с уровня n на уровень n+1 или n-1. Эти операторы, названные операторами рождения и уничтожения, часто используются в квантовой статистической механике и в квантовой теории поля (Цель квантовой теории поля – описать взаимодействие между частицами в релятивистской области, а именно, взаимодействие между электронами, позитронами и фотонами. Понятно, что операторы рождения и уничтожения частиц играют очень важную роль, тем более, что такие процессы действительно наблюдаются экспериментально (поглощение или испускание фотонов, образование пар и т. д.)).